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Introdução

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações de forma que, em cada equação, cada termo contém apenas uma variável e cada variável aparece na primeira potência.

De maneira geral, um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de $m$ equações, sendo $m \geq 1$, com $n$ incógnitas $[x_1, x_2, x_3, \dots , x_n]$. Podemos escrever um sistema da seguinte forma:

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= b_{2} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} + \cdots + a_{3n}x_{n} &= b_{3} \\ \;\;\;\;\; \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \cdots + a_{mn}x_{n} &= b_{m}. \end{cases} $$

Esse conjunto de equações pode ser reescrito na forma de uma equação matricial: $$ Ax = b, $$ com $$ A =\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}, $$ $$ x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, $$ $$ b = \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_m\end{bmatrix}. $$
A matriz $A$ é chamada de coeficientes $A$, $x$ o vetor de incógnitas e $b$ o vetor de termos independentes. Resolver um sistema é encontrar valores de $[x_1, x_2, x_3, \dots , x_n]$ que satisfazem simultaneamente a todas as equações.

Quanto às soluções, podemos classificar um sistema linear como impossível (SPI), possível determinado (SPD) ou possível indeterminado (SPI). Para que o sistema seja SPD, o número de equações deve ser igual ao número de variáveis e o determinante da sua matriz de coeficientes deve ser diferente de zero. Nesse curso, estudaremos a resolução de sistemas possíveis e determinados.