A partir de agora estudaremos dois métodos que são classificados como "Abertos": o método de Newton-Rapson e o método da Secante. Diferentemente dos métodos intervalores, nos métodos abertos não é preciso trabalhar com um intervalo no qual a raiz se encontra. Como veremos, no método de Newton precisamos somente de uma estimativa inicial (chute inicial) próxima onde da raiz procurada. O valor desse chute inicial pode ser obtido pelo conhecimento que se tem a respeito da solução do problema ou por uma análise gráfica.

Considere o problema de encontrar uma raiz da equação $$ f(x) = 0. $$ Seja $\;x_n\;$ uma estimativa relativamente próxima da raiz procurada (o algoritmo começa com um chute inicial, $x_0$). O próximo valor estimado para a raiz, $x_{n+1}$, é determinado da seguinte forma: traça-se uma reta tangente à função $f(x)$ em ($x_n, f(x_n)).$ Onde essa reta (em azul) cortar o eixo das abscissas é o valor de $x_{n+1}$, conforme figura abaixo:

O coeficiente angular da reta tangente à função $f(x)$ em $x = x_n$ é: $$ f'(x_{n}) = \frac{f(x_{n})\; -\; 0}{x_{n}\;- \; x_{n+1}}. $$ Logo, o ponto de intersecção será $$ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}. $$
O procedimento é repetido até que se atinja a precisão desejada de $p$ algarismos signivicativos, ou seja, até que o erro relativo seja $$ \varepsilon_{r} = \left|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\right| < 10^{-p}. $$

Encontre a raiz positiva da equação $f(x) = 0$ com precisão de dois algarismos significativos, onde $$ f(x) = \frac{\; \,x^2}{5} -2x - 3 $$

Solução:

1. Fazendo-se uma Análise Gráfica, estima-se um $x_0 = 11.4,$ suficientemente próximo.