A modelagem de sistemas dinâmicos é normalmente realizada por meio de equações diferenciais. Como exemplo, considere um paraquedista que salta de um avião e no instante $t_0$ abre o paraquedas quando está a uma velocidade de queda $v_0$ . Baseado na segunda Lei de Newton, temos a seguinte equação que descreve a aceleração do paraquedista em função do tempo de queda:

$$ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = g - \frac{c}{m}v, $$ onde $g$ é a aceleração da gravidade, $c$ é o coeficiente de arrasto, $m$ é a massa do paraquedista e $v$ a sua velocidade.

Na equação acima, a quantidade que está sendo derivada, $v$, é chamada de variável dependente. Já a quantidade em relação a qual $v$ é derivada, $t$, é chamada de variável independente. Quando temos uma única variável independente, a equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO).

As EDOs também são classificadas em relação a sua ordem. A equação diferencial em tela é chamada de equação de primeira ordem, pois a derivada mais alta é de primeira ordem.

Algumas EDO podem ser resolvidas analiticamente. Dentre elas estão as equações ditas separáveis, nas quais os termos relativos às variáveis dependente e independente podem ser isolados em cada lado da igualdade. Como exemplo, suponha que tenhamos a seguinte equação diferencial ordinária:

Sabemos que se quisermos obter a função $y$, devemos apenas integrar os dois lados da equação em relação a $x$. Por ser um polinômio, essa integração é fácil de ser feita. Sendo assim:

em que $C$ é uma constante qualquer.

Ao analisar a equação do exemplo anterior, observamos o surgimento de uma constante C introduzida ao resolver a integral indefinida. Essa constante indica que a EDO possui infinitas soluções. Se quisermos obter uma solução em particular, a constante citada deve ser fornecida no problema, embora que implicitamente. Na prática, essa constante é determinada a partir do conhecimento do valor $y = y_0$ da função para algum valor de $x = x_0$. Quando a EDO é fornecida juntamente com a condição $y_0 = f(x_0)$, chamamos esse problema de Problema de Valor Inicial (PVI).

Vimos um caso onde a solução de uma EDO pode ser obtida analiticamente. Porém, muitas EDOs de importância prática não possuem uma solução analítica e exata. Por esse motivo, devemos recorrer aos métodos numéricos.

Nesse tópico veremos resoluções de EDOs através dos seguintes métodos: Euler, Heun (Euler Modificado) e os métodos de Runge-Kutta.