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Sistemas Triangulares
Consideraremos a resolução de sistemas triangulares superiores. Dado um sistema linear do tipo $Ax = b$, sendo
$A$ uma matriz $n\times n$ triangular superior, com elementos da diagonal principal diferentes de zero,
podemos escrever as equações desse sistema da seguinte forma:
com $a_{ii} \neq 0$. Da última equação, tiramos que: $$ x_{n} = \frac{b_{n}}{a_{nn}}. $$
O valor de $x_{n_{-1}}$ pode então ser obtido a partir da penúltima equação: $$ x_{n_{-1}} = \frac{b_{n_{-1}}-a_{n_{-1}n}x_{n}}{a_{n_{-1}n_{-1}}}. $$
Fazendo substituições sucessivas, obtemos $x_{n_{-2}}$ , $\cdots$ , $x_{2}$ e, finalmente, $x_{1}$:
De maneira similar, um sistema de equações trianguar inferiror possui a seguinte forma:
O valor de $x_{2}$ pode ser obtido a partir da segunda equação: $$ x_{2} = \frac{b_{2}-a_{21}x_{1}}{a_{22}}. $$
Fazendo substituições sucessivas, obtemos $x_3, x_4, \dots , x_{n_{-1}}$ e, finalmente, $x_n$:
Exemplo 1
Obter a solução do seguinte sistema:
$$
\begin{cases}
\begin{array}{rcr}
x_1 + x_2 + 2x_3 = 1
\\2x_2 + x_3 = -3
\\ 5x_3 = -5
\end{array}
\end{cases}
$$
Solução:
Como temos um sistema cuja matriz de coeficientes é triangular superior, podemos obter a solução do sistema
através da resolução retroativa, começando pela última equação. Primeiramente obtemos $x_3$:
$$ x_3 = \frac{-5}{5} = -1. $$
Em seguida, obtemos o valor de $x_2$:
Por fim, obtemos $x_1$:
$$ x = \begin{bmatrix}4 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}. $$
Exemplo 2
Obter a solução do seguinte sistema:
$$
\begin{cases}
\begin{array}{lcr}
2x_1 = 1
\\x_1 +2x_2 = -2
\\ 2x_1 + 4x_2 + x_3= -12
\end{array}
\end{cases}
$$
Solução:
Como temos um sistema cuja matriz de coeficientes é triangular inferior, podemos obter a solução do sistema
através da resolução retroativa, começando pela primeira equação. Primeiramente obtemos $x_1$:
$$x_1 = \frac{1}{2} = 0.5.$$
Em seguida, obtemos o valor de $x_2$:
Por fim, obtemos $x_3$:
Portanto, a solução do sistema é:
$$ x = \begin{bmatrix}0.5 \\ -1.25 \\ -8 \end{bmatrix}. $$