Resolva o sistema linear:
$$ \begin{cases} 5x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5
\\ 3x_{1} + 4x_{2} + x_{3} = 6
\\ 3x_{1} + 3x_{2} + 6x_{3} = 0
\end{cases}$$
pelo método de Gauss-Seidel com $x^{(0)} = \space \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ e o erro $= 0.05$
O primeiro passo é escrever o sistema na forma de um processo iterativo, isolando a varíavel $x_i$ na equação $i$:
$$ \begin{cases} x_{1} = -0.2x_{2} - 0.2x_{3} + 1
\\ x_{2} = -0.75x_{1} - 0.25x_{3} +1.5
\\ x_{3} = -0.5x_{1} - 0.5x_{2}
\end{cases}$$
Lembrando que as matrizes $B$ e $d$ do processo iterativo são:
$$
\begin{aligned}
B &= \begin{bmatrix}0 & -0.2 & -0.2 \\ -0.75 & 0 & -0.25 \\ -0.5 & -0.5 & 0 \end{bmatrix},\\
d &= \begin{bmatrix}1 \\ 1.5 \\ 0 \end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$
Especialmente a matriz $B$ é importante para sabermos se o processo iterativo é convergente (ver
Critérios de Convergência).
Agora rotulamos as variáveis que já foram calculadas na iteração atual, para que possam ser usadas dentro da mesma iteração:
$$ \begin{cases} x_{1}^{(k+1)} = -0.2x_{2}^{(k)} - 0.2x_{3}^{(k)} + 1
\\ x_{2}^{(k+1)} = -0.75x_{1}^{(k+1)} - 0.25x_{3}^{(k)} +1.5
\\ x_{3}^{(k+1)} = -0.5x_{1}^{(k+1)} - 0.5x_{2}^{(k+1)}
\end{cases}$$
Observe que no método de Gauss-Seidel nós estamos utilizando os valores de $x$ que já foram calculados anteriormente, em vez de usarmos o valor do chute inicial. Dessa forma, o sistema convergirá mais rápido.
Iteração 1:
$$ \begin{cases} x_{1}^{(1)} = -0.2x_{2}^{(0)} - 0.2x_{3}^{(0)} + 1 = -0.2*0 - 0.2*0 + 1 = 1
\\ x_{2}^{(1)} = -0.75x_{1}^{(1)} - 0.25x_{3}^{(0)} + 1.5 = -0.75*1 - 0.25*0 + 1.5 = 0.75
\\ x_{3}^{(1)} = -0.5x_{1}^{(1)} - 0.5x_{2}^{(1)} = -0.5*1 - 0.5*0.75 = -0.875
\end{cases}$$
Ou seja,
$$
x^{(1)} =\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1 \\ 0.75 \\ -0.875 \end{bmatrix}
$$
Agora podemos fazer o cálculo do erro para vermos o quão próximo estamos do erro que queremos obter. Para isso, calculamos o erro relativo usando a norma linha:
$$
\begin{aligned}
E_r &= \frac{\left|x^{(1)}-x^{(0)}\right|_L }{\left|x^{(1)}\right|_L}\\
& = \frac{\left|
\begin{bmatrix}1 \\ 0.75 \\ -0.875 \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\right|_L }{\left|\begin{bmatrix}1 \\ 0.75 \\ -0.875 \end{bmatrix}\right|_L}\\
&= 1.
\end{aligned}
$$
Como $1 > 0.05$, o precesso iterativo continua. Prosseguindo as iterações, nós teremos:
Iteração 2:
$$ \begin{cases} x_{1}^{(2)} = -0.2x_{2}^{(1)} - 0.2x_{3}^{(1)} + 1 = -0.2*0.75 - 0.2*(-0.875) + 1 = 1.025
\\ x_{2}^{(2)} = -0.75x_{1}^{(2)} - 0.25x_{3}^{(1)} + 1.5 = -0.75*1.025 - 0.25*(-0.875) + 1.5 = 0.95
\\ x_{3}^{(2)} = -0.5x_{1}^{(2)} - 0.5x_{2}^{(2)} = -0.5*1.025 - 0.5*0.95 = -0.9875
\end{cases}$$
Ou seja,
$$
x^{(2)} =\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1.025 \\ 0.95 \\ -0.9875 \end{bmatrix}
$$
O erro relativo é:
$$
\begin{aligned}
E_r &= \frac{\left|x^{(2)}-x^{(1)}\right|_L }{\left|x^{(2)}\right|_L}\\
& = \frac{\left|
\begin{bmatrix}1.025 \\ 0.95 \\ -0.9875 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 \\ 0.75 \\ -0.875 \end{bmatrix}
\right|_L }{\left|\begin{bmatrix}1.025 \\ 0.95 \\ -0.9875 \end{bmatrix}\right|_L}\\
&= 0.195.
\end{aligned}
$$
Como $0.195 > 0.05$, o precesso iterativo continua.
Iteração 3:
$$ \begin{cases} x_{1}^{(3)} = -0.2x_{2}^{(2)} - 0.2x_{3}^{(2)} + 1 = -0.2*0.95 - 0.2*(-0.9875) + 1 = 1.0075
\\ x_{2}^{(3)} = -0.75x_{1}^{(3)} - 0.25x_{3}^{(2)} + 1.5 = -0.75*1.0075 - 0.25*(-0.9875) + 1.5 = 0.99125
\\ x_{3}^{(3)} = -0.5x_{1}^{(3)} - 0.5x_{2}^{(3)} = -0.5*1.0075 - 0.5*0.99125 = -0.99947
\end{cases}$$
Ou seja,,
$$
x^{(3)} =\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1.0075 \\ 0.99125 \\ -0.99947 \end{bmatrix}.
$$
Prosseguindo para o cálculo do erro:
$$
\begin{aligned}
E_r & = \frac{\left|
\begin{bmatrix}1.0075 \\ 0.99125 \\ -0.99947 \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix}1.025 \\ 0.95 \\ -0.9875 \end{bmatrix}
\right|_L }{\left|\begin{bmatrix}1.0075 \\ 0.99125 \\ -0.99947 \end{bmatrix}\right|_L}\\
&= 0.041.
\end{aligned}
$$
que é menor que $0.05$, satisfazendo a condição imposta pelo enunciado da questão.
Então, a solução $x$ do sistema linear acima, com erro menor que $0.05$, obtida pelo método de Gauss-Seidel, é:
$$
x = \begin{bmatrix}1.0075 \\ 0.99125 \\ -0.99947 \end{bmatrix}.
$$
