O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema linear em um sistema linear triangular superior equivalente, pois um sistema dessa forma pode ser resolvido diretamente com a resolução retroativa.

Assim, o método resume-se em aplicar sucessivas operações elementares em um sistema linear para o transformar num sistema de mais fácil resolução, tendo este as mesmas soluções que o original.

A Eliminação de Gauss é muito simples, pois já estamos familiarizados com ela desde a Álgebra Linear através de escalonamento de matrizes. Apesar de existir diversas maneiras de escalonar uma uma matriz, o algoritmo da Eliminação de Gauss é o mais eficiente computacionalmente.

Seja um sistema linear: $$ \begin{cases} 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 1 \\ x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 2 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_{3} = 3 \end{cases}$$ Podemos escrevê-lo na forma matricial do tipo $Ax$ = $b$, onde: $$ A =\begin{bmatrix}3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & -2 \end{bmatrix} \space b = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}. $$ E a partir delas escrevemos a matriz aumentada do sistema: $$ Ab = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 & | & 1 \\ 1 & 1 & 2 & | & 2 \\ 4 & 3 & -2 & | & 3 \end{bmatrix}. $$ Vamos usar o método da Eliminação de Gauss para obter um sistema equivamente mais simples de resolver.

Inicialmente, vamos identificar o primeiro pivô, que vai ser o elemento da diagonal principal da primeira linha. Neste caso, é o $3$, e precisamos zerar todos os elementos que estão abaixo desse pivô.

Para isso, vamos diminuir da linha $2$ ($L_2$) um fator multiplicado pela linha $1$ ($L_1$). Esse fator é resultado da divisão do elemento dessa linha que queremos zerar pelo pivô, nesse caso, $$f_{21} = \frac{A_{21}}{A_{11}} = \frac{1}{3}.$$ Depois de calcular o fator, fazemos $$L_2 = L_2 – f_{21}L_1,$$ ou seja, diminuímos de cada elemento da linha $2$ um fator multiplicado pelo elemento correspondente da linha do pivô. Fazendo isso obtemos: $$ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 & | & 1 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 4 & 3 & -2 & | & 3 \end{bmatrix}. $$ Podemos ver que conseguimos zerar o elemento. Porém, ainda não terminamos a eliminação para o primeiro pivô. Resta-nos zerar o elemento da linha $3$ ($L_3$) que está abaixo do pivô. Calculamos o fator $$f_{31} = \frac{A_{31}}{A_{11}} = \frac{4}{3}$$ e fazemos $$L_3 = L_3 – \frac{4}{3}L_1,$$ obtendo: $$ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 & | & 1 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{22}{3} & | & \frac{5}{3} \end{bmatrix}. $$ Agora podemos ir para coluna $2$. Na coluna $2$ temos que identificar o pivô, que será o elemento da diagonal principal da linha $2$, ou seja, pivô = $A_{22} = \frac{1}{3}$. Agora vamos zerar o elemento abaixo desse pivô seguindo os mesmos passos anteriores.

Calculamos o fator que vai ser $$f_{32} = \frac{A_{32}}{A_{22}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 1$$ e fazemos $$L_3 = L_3-f_{32}L_2,$$ obtendo: $$ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 & | & 1 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & -8 & | & 0 \end{bmatrix}. $$ Observe que agora obtemos um sistema de equações equivalente do tipo triangular superior. Já podemos resolver diretamente através da resolução retroativa, como vimos acima.

Logo, $$ x_{3} = \frac{b_{3}}{a_{33}} = \frac{0}{-8} = 0. $$ A partir do valor de $x_{3}$ podemos obter os valores de $x_{2}$ e $x_{1}$: $$x_{2} = \frac{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}*0}{\frac{1}{3}} = 5$$ Ou seja, a solução do sistema é dada pelo vetor $$ x = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Um sistema é dito mal condicionado quando uma pequena alteração no valor dos coeficientes causa uma grande alteração da solução exata. Esse mal condicionamento muitas vezes é causado pela presença de um pivô próximo de zero. Por exemplo, considere o sistema $$ \begin{cases}0.0003x_{1} + 59.14x_{2} = 59.17 \\ 5.291x_{1} - 6.130x_{2} = 46.78 \end{cases} $$ cuja solução exata é $x_{1} = 10$ e $x_{2} = 1$. Vamos resolver esse sistema através da Eliminação de Gauss com 4 dígitos de precisão. Escrevendo a matriz aumentada do sistema: $$ \begin{bmatrix}0.0003& 59.14 & | & 59.17 \\ 5.291 & -6.130 & | & 46.78 \end{bmatrix} $$ Temos que o primeiro pivô é $A_{11} = 0.0003$. Para zerar o elemento abaixo dele na segunda linha, calculamos

e fazemos $$L_2 = L_2-1764L1$$ obtendo: A partir da resolução retroativa temos que: ou seja, o valor obtido para $x_{1}$ não é nada condizente com a solução real. Esse problema é causado pelo fato de termos feito uma divisão com um número próximo de zero, devido ao pivô ter um valor muito baixo.

Uma possível solução para esse problema é aumentar a precisão, usando mais algoritmos significativos. Porém, isso causa um aumento do esforço computacional e pode não ser a solução mais adequada em todos os casos.

Uma maneira simples de melhorar a solução nesses casos é utilizar a técnica de pivotação, que veremos a seguir.

A pivotação parcial consiste na permutação de linhas de um sistema de maneira que o maior elemento em módulo de uma determinada coluna do sistema seja o pivô.

Vamos utilizar a técnica de pivotação parcial para resolver o exemplo anterior. $$ \begin{cases}0.0003x_{1} + 59.14x_{2} = 59.17 \\ 5.291x_{1} - 6.130x_{2} = 46.78 \end{cases} $$ Vamos analisar a primeira coluna. Vemos que o maior elemento em módulo é o elemento da segunda linha, $5.291$. Portanto, vamos permutar a primeira linha com a segunda de maneira que ele se torne o pivô: $$ \begin{cases} 5.291x_{1} - 6.130x_{2} = 46.78 \\ 0.0003x_{1} + 59.14x_{2} = 59.17 \end{cases} $$ $$ \begin{bmatrix} 5.291 & -6.130 & | & 46.78 \\ 0.0003& 59.14 & | & 59.17 \end{bmatrix} $$ Depois disso, é só prosseguir e utilizar a Eliminação de Gauss normalmente. Para zerar o elemento abaixo do pivô, calculamos

e fazemos $$L_2 = L_2 - f_{21}L_1,$$ obtendo, $$ \begin{bmatrix} 5.291 & -6.130 & | & 46.78 \\ 0& 59.14 & | & 59.17 \end{bmatrix} $$ A partir da resolução retroativa, calculamos que $$ x_{2} = \frac{59.17}{59.14} = 1.001$$ Obtendo um resultado condizente com a solução exata.