Iremos entender agora um pouco do Método de Heun, ou Euler modificado, como alguns autores preferem.

Esse método, desenvolvido por Karl Heun, é baseado no método de Euler. Heun percebeu que se fizesse o cálculo de duas inclinações ao invés de uma, então a média entre essas duas inclinações seria uma estimativa mais precisa com vistas a obter a próxima estimativa do valor de $y$.

Podemos entender melhor o método de Heun através das figuras a seguir:

A inclinação do início do intervalo é dada por:
$$ {k_1 = \left. \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \right|_{x = x_i} = g(x_i, y_i)}. $$
A segunda inclinação é uma estimativa da derivada da função no final do intervalo, ou seja, em $x = x_{i+1}$:

Note que para calcular $k_2$ precisamos estimar um valor de $\tilde{y}_{i+1}$ no final do intervalo, ou seja, em $x_{i+1} = x_i + h$. Para isso, utilizamos o valor da primeira inclinação, ${k_1}$: $$ \tilde{y}_{i+1} = y_i + k_1h. $$ Podemos também escrever diretamente $$ \begin{aligned} k_2 &= g(x_{i+1}, \tilde{y}_{i+1}) \\ &= g(x_i + h, y_i + k_1 h). \end{aligned} $$ Uma vez calculadas as duas inclinações, a inclinação de Heun é determinada pela média aritmética entre $k_1$ e $k_2$: $$ {k = \frac{1}{2}(k_1 + k_2)}. $$ Finalmente, o calculo do novo ${y}$ será dado por: $$ {y_{i+1} = y_i + kh}. $$

Vamos entender melhor esse método através de um exemplo!

Use o método de Heun para resolver o PVI

de $a = 0$ até $b = 2.5$ com um passo $h = 0.5$.

Compare o resultado com a solução analítica:
Solução

A solução analítica está representada pela curva em verde no gráfico a seguir.

1. Partimos do ponto inicial $(0;3)$, como mostrado no gráfico acima.