O método da Bisseção, que estudaremos a seguir, faz parte de uma classe de métodos chamados de Intervalares. Para que esse método funcione corretamente, é necessário conhecer um intervalo $[a;b]$ em que a raiz da equação $F(x) = 0$ se encontra. Além disso, a função $F(x)$ deve ser contínua no intervalo $[a;b]$.

A base para o funcionamento dos métodos intervalares é o Teorema de Bolzano.

Seja $F(x)$ uma função contínua no intervalo $[a;b]$. Se $F(a)F(b) < 0$, então a função $F(x)$ tem pelo menos um zero no intervalo aberto $(a;b)$.

A figura abaixo ilustra o Teorema de Bolzano. Tome, por exemplo, o intervalo $[1;3]$. Pelo gráfico, é fácil verificar que $F(1) < 0$ e $F(3)>0$. Dessa forma, $F(1)F(3) < 0$. Como a função é contínua no intervalo considerado, então a equação $F(x)=0$ tem pelo menos uma raiz no intervalo aberto $(1;3)$.

Em suma, o Teorema de Bolzano é um método analítico para verificar se uma função contínua possui zeros em um intervalo determinado.

Deve-se notar que, quando $F(a)F(b) > 0$, então nada podemos afirmar quanto a existência de zeros da função no intervalo $(a;b)$. Se tomarmos o intervalo $[-3,3]$ no exemplo anterior, $F(-3)F(3) > 0$. O Teorema de Bolzano não garante a existência de raízes no intervalo, embora graficamente podemos ver que a função possui dois zeros no intervalo $(-3;3)$.

Para a função $\;x^{2}-6x+1$ plotada abaixo, vamos usar o teorema de Bolzano para determinar intervalos que contenham os zeros da função:

Verificamos que $F(0) F(1)= -4 < 0 \; $ e $ \; F(5) F(6) = -4 < 0$. Logo podemos afirmar que os dois zeros da função estão nos intervalos $(0;1)$ e $(5;6)$.

Considere que a raiz procurada da equação $f(x) = 0$ esteja no intervalo $(a;b)$, e que a função $f(x)$ seja contínua no intervalo $[a;b]$. O método da bissecção consiste subdividir o intervalo $[a;b]$ em dois subintervalos utilizando o ponto médio, ou seja, calculando $$ x_1 = \frac{a+b}{2}. $$ Os dois subintervalos serão $[a;x_1]$ e $[x_1;b]$. A não ser que a raiz procurada seja exatamente $x_1$ (pouco provável), então, devido à continuidade da função $f(x)$, a raiz procurada encontra-se em um dos dois subtintervalos. Para saber em qual deles a raiz se encontra, usa-se o Teorema de Bolzano, ou seja,

Se $ \;f(a)f(x_1) < 0 $, $\; $ entao a raiz está em $(a;x_1)$.
Se $\;f(a) f(x_1) > 0 $, $\; $ então a raiz esta no outro subintervalo, $(x_1;b)$.

O subintervalo em que a raiz se encontra é conservado, enquanto que o outro é descartado.

O processo é reiniciado considerando o intervalo conservado; uma nova subdivisão é feita e o novo ponto médio é chamado de $x_2$. O processo termina quando se atinge uma precisão determinada, ou seja, $$ E_r = \left| \frac{x_n - x_{n-1}}{x_n} \right| < \epsilon. $$ Em geral, $\epsilon = 10^{-p}$, em que $p$ é a quantidade de algarismos significativos que a solução deve ter.

Considerando a equação $\; x^{2}-5 = 0 \;$, encontre a raiz positiva de forma a que o erro percentual máximo seja menor ou igual a $5\%$, ou seja, $\epsilon = 0,05$.

Para se obter um intervalo inicial que contém a raiz procurada, faz-se o gráfico da função $\; f(x) = x^{2}-5.$

É possível notar que: Pelo teste de Bolzano, a raiz positiva encontra-se no intervalo $[2;3]$. Fazendo $a = 2$ e $b = 3$:
Iteração 1
O subtintervalo inicial foi dividido em dois subintervalos, $[2; 2.5]$ e $[2.5; 3]$. Fazendo o teste de Bolzano. Como $$ f(a) f(x_{1}) < 0, $$ a raiz está no subintervalo $[2; 2.5]$.

Iteração 2
Calculando o erro porcentual: Fazendo o teste de Bolzano: $$ f(a) f(x_{2}) = -0.625 < 0. $$ Logo, a raiz está nos subintervalo $[2; 2.25]$.

Iteração 3
Calculando o erro porcentual: Fazendo o teste de Bolzano: $$ f(a) f(x_{3}) = 0.4844 > 0. $$ Logo, a raiz está nos subintervalo $[2.125; 2.25]$.

Iteração 4
Calculando o erro porcentual: Fazendo o teste de Bolzano: $$ f(a) f(x_{3}) = -0.4844 < 0. $$ Logo, a raiz está nos subintervalo $[2; 2.125]$.

Então, para um erro < $\;5\%,\;$ podemos inferir que a raiz é aproximadamente $\;x = \; 2.1875\;$.

Use o método da Bisseção para encontrar a raiz positiva da equação abaixo com erro relativo $E_r < \;0.01\;$ $$ \frac{x^2}{5} -2x=3.$$

Solução:

Deve-se inicialmente reescrever a equação na forma $$ f(x) = 0. $$ Escolhemos $f(x) = \frac{x^2}{5} -2x -3 $.

1. Fazendo-se uma análise gráfica, estima-se a raiz no subintervalo $[a;b]$, $a = 10\,$ e $b = 12.$