Os métodos de resolução de EDOs são aplicáveis apenas a equações diferenciais de primeira ordem. Sendo assim, se tivermos uma equação diferencial de ordem maior que um, teremos que fazer algumas substituições e transformar essa equação de ordem superior num sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

Considere a seguinte EDO de ordem superior com as condições iniciais $y(1) = 2$, $y'(1) = 3$ e $y''(1) = -4$. Definindo variáveis auxiliares, transforme a EDO de ordem superior em um sistema de EDOs de forma a ser resolvido pelas técnicas já estudadas.

Solução:
Aqui, teremos que fazer substituições, de modo que através delas, possamos obter um sistema de EDO de primeira ordem: $$ z = y', $$ $$ z' = y'', $$ $$ z'' = y'''. $$ Substituindo isso na equação diferencial, teremos: Fazendo o mesmo procedimento para a variável auxiliar $z$: $$w = z',$$ $$w' = z''.$$ Substituindo isso na Eq. (2), teremos que: Dessa forma, já podemos escrever o nosso sistema, assim: Precisamos agora encontrar as condições iniciais para $z(x=1)$ e $w(x=1)$, já que foi dado que $y(x=1) = 2$. Note que: $$ z(x=1) = \frac{dy}{dx}(x=1) = y'(x=1). $$ Como $y'(x = 1)$ foi dado e é igua a 3, então $z(x = 1) = 3$. Fazendo agora para $w$, note que: Como $y''(x = 1)$ foi dado e é igua a -4, então $w(x = 1) = -4$. O PVI agora pode ser escrito da seguinte forma:

Uma pessoa com $y_0 = 1.80m$ de altura lança uma bola para cima com velocidade inicial de $v_0 = 12m/s$. Determine a altura máxima aproximada alcançada pela bola usando o método de Euler, partindo de $t=0s$ com um passo $h = 0.4s$. Considere a gravidade $g = 9.8m/s^2$

Solução:

Chamando de $y(t)$ a função que descreve a posição da bola em função do tempo, então sabemos que, no lançamento vertical; $$ \frac{d^2y}{dt^2} = -g. $$ As condições iniciais são $y(0) = 1.8m$ e $y'(0) = 12m/s$, já que a velocidade é a derivada do espaço em função do tempo. Precisamos transformar a EDO acima num sistema de EDO. Para isso, definimos uma variável auxiliar: $$ v = y' \Rightarrow v' = y''. $$ Substituindo, na EDO de 2ª ordem: $$ v' = -g = -9.8 $$ Observe que, apesar de ser uma variável auxiliar, $v$ tem um significado físico, ou seja, $v(t)$ é a velocidade da bola em função do tempo! O PVI tem a forma

Com essas informações, já podemos resolver o problema. Em $t = 0.4s$, ao final da primeira iteração, teremos: Podemos ver que em $t_1= 0.4s$ após ser lançado, a bola encontra-se a $y_1 = 6.6$ do solo, e sua velocidade caiu para $v_1 = 8.08m/s$. Continuando, para $t_2 = 0.8s$: Poderemos ver que a bola continua subindo e a velocidade diminuindo pela ação da gravidade. Para $t_3 = 1.2s$: No instante de tempo $t_3 = 1.2s$, a bola está próxima de alcançar a altura máxima, pois sua velocidade está próxima de zero. Com mais outra iteração, para $t_4 = 1.8s$: Aqui percebemos que a velocidade trocou de sinal, ou seja, mudou seu sentido para baixo. Como a bola atinge sua altura máxima quando a velocidade é zero, podemos concluir que a bola atinge sua altura máxima entre $t = 1.2s$ e $t=1.6s$, e que essa altura é aproximadamente $11.58m$.

Podemos obter uma precisão melhor se usarmos um passo $h$ menor ou outro método que seja mais preciso, mas esse exemplo serve para ilustrar que podemos usar a resolução numérica de sistema de EDOs para solucionar problemas envolvendo equações diferenciais em nosso dia a dia.