Seja o problema de encontrar as raízes da equação $$ f(x) = 0. $$ O método da Bissecção prevê que a raiz encontra-se no ponto médio do intervalo $[a;b]$. Uma variante do método da Bissecção é o método da Falsa Posição. Nesse método, a estimativa para a raiz é o ponto onde a reta que passa pelos pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ cruza o eixo das abscissas, como mostra a ilustração abaixo:

Dado um intervalo $[a;b]$ que contem a raiz procurada, considere a reta que passa pelos pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. Para encontrar o ponto $x$ onde a reta (tracejada) toca o eixo das abscissas, usamos semelhança de triângulos: $$ \frac{f(b)-0}{b-x}= \frac{0-f(a)}{x-a}. $$ Isolando $x$ na equação acima: $$ x = a - \frac{(b-a) f(a)}{f(b)-f(a)}. $$
Da mesma forma que na Bissecção, esse ponto subdivide o intervalo inicial em dois subintervalos. Para identificar em qual deles está a raiz, o teorema de Bolzano é usado novamente:

Se $f(a) f(x) < 0$, então a raiz está em $[a;x]$,
Se $f(a) f(x) > 0 $, a raiz está em $[x;b]$.

Esse procedimento é repetido até que o valor de $ \, x\,$ atenda às condições de parada.

Dada a equação $ x^{2}-5 = 0$, encontre a raiz positiva com precisão de dois algarismos significativos, ou seja, de forma que o erro relativo seja $Er < 10^{-2} = 0.01$.

Estimativa inicial
A imagem abaixo mostra o gráfico da função $f(x) = x^{2}-5$.

Podemos notar que $$f(2) f(3)< 0$$ Logo, a raiz procurada está no intervalo $[a;b]$, com $a = 2$ e $b = 3$.

Iteração 1:

Esperaremos a próxima iteração para calcular o erro relativo. Pelo teorema de Bolzano: $$f(2) f(2.2) > 0 $$ Logo, a raiz está no intervalo $[x_1,b]$, ou seja, $[2.2;3]$.

Iteração 2
Calculando o erro relativo: $$ \begin{aligned} \varepsilon_{r} &= \frac{|2.2308 - 2.2|}{2.2308} \\ &= 0.0138 > 0.01. \end{aligned} $$ Vefificando o critério de Bolzano: $$f(2.2) f(2.2308) > 0 $$ Logo a raiz está no intervalo $[x_2; b]$, ou seja, $[2.2308; 3]$.

Iteração 3

Calculando o erro relativo: $$ \begin{aligned} \varepsilon_{r} &= \frac{| 2.2353 -2.2308 |}{2.2353} \\ &= 0.0020 < 0.01. \end{aligned} $$ Tendo sido atingido o critério de convergência, o valor da raiz será $x = 2.2353$ com dois algarismos significativos.

Utilize o método da Falsa Posição para encontrar a raiz positiva da equação abaixo com três algarismos significativos, ou seja, tal que $Er < 10^{-3}$. $$ f(x) = 0,$$ com $f(x) = \frac{x^2}{5} -2x - 3$.

Solução:

1. Fazendo-se uma Análise Gráfica da função $f(x)$, estima-se a raiz no subintervalo $[a;b]$, com $a = 10\,$ e $b = 12$.