Ao contrário dos métodos exatos, como o método da eliminação de Gauss e da decomposição LU, que obtém a solução exata após um número exato de passos, não é sempre que um método iterativo tem sucesso.

Apesar de terem certas vantagens como utilizar menos memória do computador e serem mais imunes a erros de arrendondamento, é preciso seguir certas condições para ter certeza que esses métodos estão convergindo para a solução desejada.

Veremos a seguir alguns critérios que devem ser satisfeitos para garantir a convergência utilizando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. É importante salientar que a satisfação desses critérios garante a convergência; porém, caso eles não sejam satisfeitos, não podemos concluir nada em relação a mesma.

Para estudar os critérios de convergência, devemos introduzir as normas linha e coluna de uma matriz.

A norma linha de uma matriz $B$ de dimensão $n\times m$, denominada $\parallel B\parallel_L$, é definida como sendo a maior soma dos elementos de uma linha, onde cada elemento é tomado em valor absoluto. Ou seja, $$ \parallel B\parallel_L = \max_{1\leq i \leq n}\{L_i\}, $$ onde $$ L_i = \sum_j |b_{ij}|. $$ Como exemplo, vamos calcular a norma linha da seguinte matriz: $$ B = \begin{bmatrix}2 & -0.2 & -0.1 \\ -0.2 & -1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.3 & 3 \end{bmatrix} $$ Calculando a soma dos elementos de cada linha (tomados em valor absoluto), temos: $$ L_1 \rightarrow \mid 2 \mid + \mid -0.2 \mid + \mid -0.1 \mid = 2.3 \\ L_2 \rightarrow \mid -0.2 \mid + \mid -1\mid + \mid -0.2 \mid = 1.4 \\ L_3 \rightarrow \mid -0.2 \mid + \mid -0.3 \mid + \mid 3\mid = 3.5 \\ $$ Logo, $\parallel B \parallel _{L} = \max\{2.3, 1.4, 3.5\}$ = 3.5.

Analogamente à norma linha, a norma coluna de uma matriz $B$ de dimensão $n\times m$, denominada $\parallel B\parallel_C$, é definida como sendo a maior soma dos elementos de uma coluna, onde cada elemento da coluna é tomado em valor absoluto. Ou seja, $$ \parallel B\parallel_C = \max_{1\leq j \leq m}\{C_j\}, $$ onde $$ C_j = \sum_i |b_{ij}|. $$ Como exemplo, vamos calcular a norma coluna da mesma matriz $B$: $$ B = \begin{bmatrix}2 & -0.2 & -0.1 \\ -0.2 & -1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.3 & 3 \end{bmatrix} $$ Calculando a soma dos elementos de cada coluna (tomados em valor absoluto), temos: $$ C_1 \rightarrow \mid 2 \mid + \mid -0.2 \mid + \mid -0.2 \mid = 2.4 \\ C_2 \rightarrow \mid -0.2 \mid + \mid -1\mid + \mid -0.3 \mid = 1.5 \\ C_3 \rightarrow \mid -0.1 \mid + \mid -0.2 \mid + \mid 3\mid = 3.3 \\ $$ Logo, $\parallel B \parallel _{C} = \max\{2.4, 1.5, 3.3\}$ = 3.3.

O número de Sassefeld é outro parâmetro utilizado para verificar a convergência dos métodos iterativos. Para uma matriz $B = [b_{ij}]_{n\times n}$, o número de sassenfeld $\beta$ é: $$ \beta_B = \max_{1\leq i \leq n} \{\beta_i\}, $$ em que $$ \beta _{i} = \sum_{j=1}^{i-1} \beta _{j}| b_{ij}| + \sum_{j=i+1}^{n} |b_{ij}|. $$ Como exemplo, vamos calcular o número de Sassenfeld da matriz $B$: $$ B = \begin{bmatrix}0 & -0.2 & -0.2 \\ -0.75 & 0 & -0.25 \\ -0.5 & -0.5 & 0 \end{bmatrix} $$ Devemos primeiramente calcular os betas:

Logo, o número de Sassenfeld é $\beta_B = \max\{0.4; 0.55; 0.475\} = 0.55$.

Seja $Ax=b$ um sistema linear com matriz de iteração $B$. O método de Jacobi converge caso um dos critérios abaixo seja satisfeito:

• $||B||_L < 1$ (critério das linhas)
• $||B||_C < 1$ (critério das colunas)

Caso nenhum critério seja atendido, nada podemos afirmar sobre a convergência pelo método de Jacobi.

Seja $Ax=b$ um sistema linear com matriz de iteração $B$. O método de Gauss-Seidel converge caso um dos critérios abaixo seja satisfeito:

• $||B||_L < 1$ (critério das linhas)
• $\beta_B < 1$ (critério de Sassenfeld)

Caso nenhum critério seja atendido, nada podemos afirmar sobre a convergência pelo método de Gauss-Seidel.

o critério da norma linha ($||B||_L < 1$) tem um equivalente denominado critério da diagonal dominante. Nesse critério, basta verificar se a matriz de coeficientes $A$ do sistema tem os elementos de sua diagonal principal maiores em módulo do que a soma absoluta dos outros elementos da linha correspondente. Exemplo:

$$ A =\begin{bmatrix}10 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 10 \end{bmatrix} $$ $$ L_1 \rightarrow \mid 2 \mid + \mid 1 \mid = 3 < \mid 10 \mid \\ L_2 \rightarrow \mid 1 \mid + \mid 1 \mid = 2 < \mid 5 \mid \\ L_3 \rightarrow \mid 2 \mid + \mid 3 \mid = 5 < \mid 10 \mid $$
Logo, verificamos que a matriz de coeficientes desse sistema tem a diagonal dominante e portanto o critério da norma linha é satisfeito.

Agora que já vimos todos os critérios de convergência, podemos verificar se um dado sistema tem garantia de convergência para algum dos métodos iterativos. É importante salientar que os critérios são independentes, ou seja, se um for satisfeito, o outro não precisa ser.

Para Jacobi, deve ser satisfeito o critério da norma linha ou o critério da norma coluna.

Para Gauss-Seidel, deve ser satisfeito o critério da norma linha ou o critério de Sassenfeld.

Sabendo disso, verifique se podemos obter a solução do sistema abaixo utilizando os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel.

$$ \begin{aligned} 5x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5 \\ 3x_{1} + 4x_{2} + x_{3} = 6 \\ 3x_{1} + 3x_{2} +6x_{3} = 0 \end{aligned}$$ Sabemos que: $$ A = \begin{bmatrix}5 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 6 \end{bmatrix}. $$ O primeiro passo é obter a matriz de iteração B. Divimos primeiro cada elemento de A pelo elemento da diagonal principal da linha correspondente: $$ A = \begin{bmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{4} & 1 & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{6} & \frac{3}{6} & 1 \end{bmatrix} $$ Depois diminuímos A da matriz identidade e obtemos B = I-A:

Critério das linhas: $$ L_1 \rightarrow \mid -0.2 \mid + \mid -0.2 \mid = 0.4 \\ L_2 \rightarrow \mid -0.75 \mid + \mid -0.25 \mid = 1 \\ L_3 \rightarrow \mid -0.5 \mid + \mid -0.5 \mid = 1 $$ Como $\parallel B \parallel _{L} = 1$, então a norma linha não é menor do que um e o critério das linhas não foi satisfeito. Logo, ainda não podemos afirmar nada sobre a convergência.

Critério das colunas: $$ C_1 \rightarrow \mid -0.75 \mid + \mid -0.5 \mid = 1.25 \\ C_2 \rightarrow \mid -0.2 \mid + \mid -0.5 \mid = 0.7 \\ C_3 \rightarrow \mid -0.2 \mid + \mid -0.25 \mid = 0.45 $$ Como $\parallel B \parallel _{L} = 1.25 > 1$, o critério das colunas também não foi satisfeito e não podemos afirmar nada sobre a convergência desse sistema utilizando o método de Jacobi.

Falta testar o critério de Sassenfeld para saber se o sistema convergirá para Gauss-Seidel. Logo, $\beta_B = \max\{0.4; 0.55; 0.475\} = 0.55 < 1$. Concluímos que o método de Gauss-Seidel irá convergir para esse sistema.