O Método dos Mínimos Quadrados possibilita encontrar uma função do tipo

que melhor se ajusta a um conjunto de pontos ($x_i$,$y_i$).

Observe que a função $y(x$) é formada por uma combinação linear de funções $f_i(x)$, cujos valores $a_i$ a determinar são os coeficientes dessa combinação linear. Em algumas situações, desejamos ajustar um conjunto de pontos a uma função $y(x)$ que não pode ser escrita como uma combinação linear na forma da equação acima.

Como veremos, para algumas classes de funções, é possível fazer algum tipo de manipulação e/ou linearização na função original de forma a possibilitar a aplicação da técnica dos Mínimos Quadrados para a obtenção dos seus parâmetros.

Iremos analisar três tipos de modelos de funções a seguir e ver os passos necessários para linearizá-los.

Modelo exponencial:
Seja a função $$ y(x) = \alpha_1 e^{\beta_1 x}. $$ Esse modelo é muito importante para diversos campos da engenharia. Ele é usado para descrever, por exemplo, comportamentos de crescimento populacional e de decaimento radioativo. A imagem abaixo o ilustra graficamente:

Observe que a função $y(x)$ não pode ser escrita como uma combinação linear de funções $f_i(x)$, em que os parâmetros a determinar, $\alpha_1$ e $\beta_1$, são os coeficientes dessa combinação. Entretanto, com alguma manipulação, podemos tornar isso possível.

Por exemplo, podemos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da igualdade e obter: onde podemos manipular o lado direito utilizando de propriedades logarítmicas: Como $\ln(e) = 1$, obtemos: Observe agora que os parâmaetros a determinar são $\ln (\alpha_1)$ e $\beta_1$. Chamando $\ln(y(x))$ de $H(x)$, $\ln(\alpha_1)$ de $a_0$ e $\beta_1$ de $a_1$, temos: $$ H(x) = a_0 + a_1x. $$ Agora, $H(x)$ está escrita como uma combinação linear de funções $f_i(x)$. Além disso, a relação entre as variáveis $H$ e $x$ é linear. O gráfico de $\ln(y(x))$ em função de $x$ irá fornecer uma reta com inclinação $\beta_1$ e uma intersecção com o eixo $y$ em $\ln(\alpha_1)$, como ilustrado abaixo.

Função Hiperbólica:

Seja a função $$ y(x) = \frac{1}{a + bx}. $$ Se invertermos os dois lados da igualdade, teremos que $$ \frac{1}{y(x)} = a + bx. $$ Dessa forma, podemos chamar $\frac{1}{y(x)}$ de $H(x)$, $a$ de $a_0$ e $b$ de $a_1$. A equação ficará: $$ H(x) = a_0 + a_1x. $$ Função Raíz: Considere a função $$ y(x) = \sqrt {a + bx} $$ Para esse caso, faremos o seguinte: elevaremos os dois lados ao quadrado. Isso nos dará: $$ (y(x))^2 = a + bx. $$ Agora vamos unificar a notação, chamando $(y(x))^2$ de $H(x)$, $a$ de $a_0$ e $b$ de $a_1$. Ficaremos então com: $$ H(x) = a_0 + a_1x. $$

Utilize a linearização para ajustar o seguinte conjunto de pontos a um modelo exponencial:

${x_i}$	${y_i}$
${0.4}$	${800}$
${0.8}$	${975}$
${1.2}$	${1500}$
${1.6}$	${1950}$
${2}$	${2900}$
${2.3}$	${3600}$

Solução:

Como vimos, o modelo exponencial é descrito pela equação $$y(x) = \alpha e^{\beta x}.$$ Após algumas manipulações matemáticas, chegamos ao modelo linear: $$\ln(y) = \ln(\alpha) + \beta x.$$ Chamando $H(x)=\ln(y)$, $a_0 = \ln(\alpha)$ e $a_1 = \beta$, obtemos: $$H(x) = a_0 + a_1 x.$$ Calculando os valores de $H(x)$:

${y}$	${H(x) = \ln(y)}$
${800}$	${6.6846}$
${975}$	${6.8824}$
${1500}$	${7.3132}$
${1950}$	${7.5756}$
${2900}$	${7.9725}$
${3600}$	${8.1887}$

Em seguida, devemos resolver, como já vimos anteriormente, o seguinte sistema para achar os valores de $a_0$ e $a_1$ que melhor ajustam a função linear: Calculando os somatórios:

$ \sum x = 0.4+0.8+1.2+1.6+2+2.3 = 8.3$
$ \sum x^2 = 0.4^2+0.8^2+1.2^2+1.6^2+2^2+2.3^2= 14.09$
$ \sum H = 6.6846 + 6.8824 + 7.3132 + 7.5756 + 7.9725 + 8.1887 = 44.617$
$ \sum x*H = 0.4*6.6846 + 0.8*6.8824 + 1.2*7.3132 + 1.6*7.5756 + 2*7.9725 + 2.3*8.1887 = 63.855$

Assim, Resolvendo esse sistema, obtemos: $$ \begin{aligned} a_0 = 6.304\\ a_1 = 0.8185. \end{aligned} $$ Como desejamos achar o valor de $\alpha$, devemos usar a relação $a_0 = \ln(\alpha)$. Aplicando a exponencial dos dois lados, obtemos que: $$ \alpha = e^{a_0} = 546.75. $$ e $$\beta = a_1 = 0.8185.$$ Como temos agora os valores de $\alpha$ e $\beta$, voltamos ao modelo exponencial e substituimos: $$ \begin{aligned} y(x) &= \alpha e^{\beta x}\\ &= 546.75e^{0.8185x}. \end{aligned} $$ Plotando a função obtida no intervalo dos pontos coletados obtemos o seguinte:

Podemos ver que obtemos uma função que expressa bem nossa amostra.

Para finalizar o exemplo, iremos calcular os dois erros que estão envolvidos no ajuste de curvas por linerarização. Calcularemos primeiro, o erro envolvido na própria linearização, que obtemos como sendo $H(x) = a_0 + a_1 x$.Teremos assim, um vetor onde cada elemento corresponde ao erro obtido em cada ponto: $$Erro_1 = H(x) - a_0 - a_1x.$$ Assim, Agora, calcularemos o erro quadrático entre o valor analítico (valores encontrados dos pontos) e o valor númerico da função (valores obtidos substituindo $x$ na equação $y(x) = 546.75e^{0.8185x}$). Esse erro é calculado da seguinte forma: Para o nosso caso, Ou Veja que o erro quadrático entre as coordenadas $y$ coletadas e a função $y(x) = 546.75e^{0.8185x}$ foi bastante alto (já que estamos tratando de valores com ordem de grandeza de $10^3$).

Devemos notar que o Método dos Mínimos Quadrados garante a minimização do erro calculado na função linearizada.

Ajuste os seguintes dados a um modelo de potências, dado por $ $y = ax^b $$.

${x_i}$	${y_i}$
${2.5}$	${13}$
${3.5}$	${11}$
${5}$	${8.5}$
${6}$	${8.2}$
${7.5}$	${7}$
${10}$	${6.2}$

Solução:
O primeiro passo é fazer a linearização da função. Como temos uma relação exponencial, podemos tirar logaritmo natural dos dois lados e obter $$ln(y) = ln(ax^b).$$ Manipulando o lado direito, temos que: $$ \begin{aligned} ln(y) &= ln(a) + ln(x^b)\\ &= ln(a) + b*ln(x) \end{aligned} $$ Agora temos uma relação linear entre $x$ e $y$. Observe que, para usarmos a regressão linear, vamos precisar não dos valores diretos de $x$ e $y$, mas sim dos valores de $ln(x)$ e de $ln(y)$. Chamaremos $H(x) = ln(y), a_0 = ln(a), a_1 = b$ e $u = ln(x)$. Calculando:

Temos que: Calculando os somatórios:

$ \sum u = 0.91629 + 1.2527 + 1.6094 + 1.7917 + 2.0149 + 2.3026 = 9.8876$
$ \sum u^2 = 0.91629^2 + 1.2527^2 + 1.6094^2 + 1.7917^2 + 2.0149^2 + 2.3026^2 = 17.571$
$ \sum H = 2.5649 + 2.3979 + 2.1401 + 2.1041 + 1.9459 + 1.8245 = 12.977$
$ \sum u*H = 0.91629*2.5649 + 1.2527*2.3979 + 1.6094*2.1401 + 1.79176*2.1041 + 2.0149*1.9459 + 2.3026*1.8245 = 20.690$

O sistema será: Resolvendo esse sistema, obtemos que $$ \begin{aligned} a_0 = 3.0601\\ a_1 = -0.54447. \end{aligned} $$ Ou seja: $$a_0 = ln(a) \Rightarrow a = e^{a_0}$$ ou $$a = 21.330$$ $$b = a_1 = -0.54447$$ Substituindo os valores obtidos de volta no modelo de potências, obtemos enfim que $$y = 21.330x^{-0.54447}$$ Plotando a função e os pontos, obtemos:

Faça a linearização da função $$ y = \frac{1}{\sqrt{e^{\cos(a_0+a_1x+2)}}} $$ Solução:
Primeiro invertemos os dois lados:

Em seguida, elevamos os dois lados ao quadrado: Agora, tiramos o logaritmo natural: Por fim, calculamos o arco-cosseno: Obtendo, finalmente, nossa função linearizada na forma $H(x) = a + bx$, onde