A série de Taylor é de grande importância para o estudo de métodos numéricos por fornecer um meio de aproximar uma função $f(x)$ por um polinômio de grau adequado nas proximidades de um ponto de interesse. Isso nos permite, por exemplo, manipular o polinômio (integrar, derivar, etc.) ao invés de manipular a função em si, resultando numa simplificação dos cálculos em troca de uma perda de precisão aceitável.

Suponha que uma função $f(x)$ possua todas as suas derivadas num determinado ponto $x = x_0$. Então, o teorema de Tayor afirma que é possível escrever a função $f(x)$ como série de potência infinita que possui a forma: Observe que para um $x_0$ em particular, os primeiros $n+1$ termos da série formam um polinômio de grau $n$: O polinômio $P_n(x)$ é chamado de polinômio de Taylor de grau $n$, que é obtido a partir do truncamento da série de Taylor no termo de ordem $n$.

Se considerarmos a definição do polinômio de Taylor, então podemos escrever $$ f(x) = P_n(x) + R_n(x), $$ onde $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} + \dots \frac{f^{(n+2)}(x_0)}{(n+2)!}(x - x_0)^{n+2} + \dots $$ Taylor também mostrou que o somatório infinito acima equivale a para algum valor de $x_0 \leq \tau \leq x$. $R_n(x)$ é chamado de resto da série de Taylor de ordem $n$ ou resto de Lagrange de ordem $n$. Note que o polinômio de Taylor tem uma quantidade finita de termos e por isso nem sempre irá representar a função de maneira adequada. Porém, quanto mais termos forem utilizados, maior será o grau de $P_n(x)$ e melhor será a aproximação desejada. A seguir, é possível observar como a adição de novos termos influencia no valor de $P_n(x)$:

O resto de Lagrange representa o que faltou para que o polinômio de Taylor fosse igual à função original. Sendo assim, quando o número de termos tende ao infinito, $R_n(x)$ tende a zero. De maneira análoga, se forem utilizados poucos termos para montar o polinômio de taylor o resto tende a aumentar.

Em geral, a expansão em série de Taylor de ordem $n$ será exata para um polinômio de grau $n$. Isto deve-se ao fato de que a derivada de ordem $n + 1$ de um polinômio de ordem $n$ é nula e, consequentemente, o termo $R_n(x)$ também é igual a zero.

Por exemplo, para a função $f(x) = x^4 - 10x^2$, que é o um polinômio de quarta ordem, o polinômio de Taylor de ordem 4 será igual a função $f(x)$, isto é, $P_4(x) = f(x)$. É fácil verificar que o valor de $R_4(x)$ será zero, pois a derivada de ordem 5 é igual a zero.

Uma situação particular ocorre quando a série de Taylor é centrada em zero, ou seja, $x_0=0$. Nesse caso, a série recebe o nome de série de Maclaurin, cuja expansão é mostrada a seguir:

Para a função $$ f(x) = 5x^3 + x + 2, $$ (a) Encontre o polinômio de Taylor de segunda ordem $P_2(x)$ em torno de $x_0 = 1$.
(b) Use o $P_2(x)$ para aproximar o valor de $f(1.1)$. Qual o erro verdadeiro cometido?
(c) Encontre a função $R_2(x)$ e estime o erro máximo, em valor absoluto, ao se usar $P_2(x)$ para aproximar o valor de $f(1.1)$. Isso é compatível com erro verdadeiro encontrado no item (b)?

Solução:

(a) Primeiro devemos fazer uma expansão em série de Taylor truncada no terceiro termo, ou seja, vamos encontrar um polinômio de Taylor de ordem 2. Sendo assim, precisamos calcular até a segunda derivada de $f(x)$.

Feito isso, agora vamos calcular a função e suas derivadas aplicadas em $x = x_0 = 1$. Agora já podemos escrever o nosso polinômio de Taylor de segunda ordem: Substituindo $f(x_0), f'(x_0), f''(x_0)$ e $x_0$, teremos: (b) Agora temos que calcular $P_2(x)$ para $x = 1.1$. Assim, teremos: Feito isso, precisamos calcular a função $f(x)$ aplicada em $x = 1.1:$ Com $P_2(1.1)$ e $f(1.1)$ calculados, podemos fazer o cálculo do erro verdadeiro absoluto, que é:
(c) Agora temos que econtrar a expressão para o Resto ($R_2(x)$), que será dada por: Como o polinômio de taylor é de segundo grau (n=2), é preciso determinar a derivada de terceira ordem (n+1=3) para o cálculo do resto. Então ficamos com: onde $1\leq \tau\leq 1.1$. Para determinar o erro máximo esperado, o valor de $\tau$ aplicado é o que maximiza a derivada de ordem n+1 em módulo. Em geral, para se conhecer esse valor máximo, podemos plotar o gráfico da derivada no intervalo entre $x_0$ e $x$. Entratanto, temos que nesse caso $f^{(3)}(x)=30$ para todo valor de $x \in \mathbb{R}$, ou seja, é uma função constante. Com essa informação, não é preciso plotar um gráfico, pois o maior valor que a derivada pode assumir é 30. Dessa forma, $R_2(x)$ pode ser reescrito como:

Calculando $R_2(1.1)$, que é o ponto que estamos analisando, temos que: $$R_2(1.1) = 0.005 .$$ Nesse caso, a estimativa do erro máximo foi igual ao erro verdadeiro, de onde concluímos que os nossos cálculos são coerentes, uma vez que o erro verdadeiro tem a mesma ordem grandeza que o erro máximo.

Na Figura 1 temos os gráficos da função $f(x) = 5x^3 + x + 2$ e do polinômio $P_2(x) = 15x^2 - 14x + 7$. Podemos ver que, próximo do ponto $x_0= 1$, o polinômio que encontramos se aproxima bem da função utilizada.

Para a função abaixo: $$ f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} + x\cos(x) $$
(a) Encontre o polinômio de Taylor de segunda ordem $P_2(x)$ em torno de $x_0 = \pi$.

(b) Use $P_2(x)$ para aproximar o valor de $f(3.2)$. Qual o erro verdadeiro cometido?

(c) Encontre a expressão analítica para a função $R_2(\tau)$ (com $x_0 = \pi$ e $x = 3.2$)

(d) Estime o erro máximo em módulo ao se usar $P_2(x)$ para aproximar o valor de $f(3.2)$. Isso é compatível com o erro verdadeiro encontrado no item (b)?

Solução:

(a) Inicialmente, como o polinômio desejado é de grau $n=2$, é preciso calcular até a segunda derivada da função.

Em seguida, deve-se avaliar a função e suas derivadas em $x_0 = \pi$.

Com isso, já é possível calcular o polinômio de Taylor de segunda ordem. Então. Substituindo $f(x_0), f'(x_0), f''(x_0)$ e $x_0$, teremos
Na Figura 1 temos os gráficos da função $f(x) = 5x^3 + x + 2$ e do polinômio $P_2(x) = 15x^2 - 14x + 7$. Podemos ver que, próximo do ponto $x_0= 1$, o polinômio que encontramos se aproxima bem da função utilizada.

(b) Com o polinômio $P_2(x)$ determinado no item anterior, deve-se aplicar $x=3.2$ para obter $P_2(3.2)$. Para obter o erro verdadeiro é necesário avaliar a função $f(x)$ no ponto $x = 3.2$. Então, Com $P_2(3.2)$ e $f(3.2)$ calculados o erro absoluto verdadeiro: (c) A expressão para o Resto $R_n(\tau)$ é dada por: Como $n = 2$, a equação para R_2(n) equivale a

$\pi \leq \tau\leq 3.2$. A derivada de terceira ordem de $f(x)$ é dada por
Substituindo a derivada $f'''(\tau)$ e os valores de $x$ e $x_0$ na função do resto, obtém-se a equação abaixo.
(d) Ao se utilizar o polinômio $P_2(x)$ para representar a função $f(x)$ no intervalo $[\pi;3.2]$, o erro máximo que podemos cometer é determinado encontrando o valor máximo de $R_2(\tau)$ para o intervalo em questão. Nesse caso, o máximo de $R_2(\tau)$ em $\tau \in [\pi;3.2]$ é obtido para $\tau = \pi$, como mostra o gráfico de $f^{(3)}(\tau)$ plotado abaixo:
O erro máximo é, então: Comparando com o erro verdadeiro calculado no item b de $9.65\times 10^{-5}$, é visível que ambos são de mesma grandeza. A partir disso, conclui-se que os cálculos realizados são coerentes.