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Regra 3/8 de Simpson
Na regra regra $1/3$ de Simpson a função $f(x)$ é aproximada por um polinômio de segundo grau no intervalo de integração $[a,b]$. Já na egra regra $3/8$ de Simpson, aproxima-se a função por um polinômio de terceiro grau, de forma que são necessários $4$ pontos para obter esse
polinômio por interpolação. Para ter os pontos, divide-se o intervalo $[a, b]$ em três subintervalos igualmente espaçados de $h$. Dessa forma,
$$
h = \frac{b-a}{3},
$$
Desta forma, $x_{0} = a$, $x_{1} = a + 2h$, $x_{2} = a + 3h$ e $x_{3} = a+3h$. Assim, o polinômio de terceiro grau $P_3(x)$ pode ser obtido pela fórmula de Lagrange.
A integral pelo método de Simpson $3/8$ é
O erro pode de integração é expresso por:
Subistituindo $ \;u = \frac{x-a}{h}$, e considerando $x_{i}=a+ih$,
$$ \varepsilon_{3/8}= -\frac{3}{80} f^{(4)}(\tau)h^5, $$
onde $\tau$ pertence ao intervalo $[a,b]$.
A integral pelo método de Simpson $3/8$ é
$${\int_{a}^{b}} {P_{3}(x)dx } = \frac{3h}{8}(y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3}). $$
O erro pode de integração é expresso por:
$$\varepsilon_{3/8}={\int_{a}^{b}} \frac{f^{(4)}(\tau) }{4!}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})dx.$$
Subistituindo $ \;u = \frac{x-a}{h}$, e considerando $x_{i}=a+ih$,
$$ \varepsilon_{3/8}= -\frac{3}{80} f^{(4)}(\tau)h^5, $$
onde $\tau$ pertence ao intervalo $[a,b]$.
Regra 3/8 de Simpson Composto
De forma a diminuir o erro da Regra de Simpson $3/8$, pode-se aplicar a Regra $n$ vezes ao dividir o intervalo $[a,b]$ em $3n$ subintervalos. Para $3n$ subintervalos de mesmo tamanho $h$, então
$$h = \frac{b-a}{3n}.$$
A cada $3$ subintervalos calcula-se a Regra $3/8$ de Simpson, de forma a obter:
$$h = \frac{b-a}{3n}.$$
A cada $3$ subintervalos calcula-se a Regra $3/8$ de Simpson, de forma a obter:
$$
\begin{aligned}
A_{1} &=\frac{3h}{8}(y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3}), \\
A_{2} &= \frac{3h}{8}(y_{3}+3y_{4}+3y_{5}+y_{6}),\\
A_{3} &= \frac{3h}{8}(y_{6}+3y_{7}+3y_{8}+y_{9}), \\
& \dots \\
A_{n} &= \frac{3h}{8}(y_{n-3}+3y_{n-2}+3y_{n-1}+y_{n}).
\end{aligned}
$$
Somando todas as áreas calculadas, obtêm-se a integral para a Regra $3/8$ Composta:
$$I_{\frac{3}{8}}= \frac {3h}{8}[y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+2y_{3}+3y_{4} +3y_{5}\;\;... \;+ 2y_{3n-3}+3y_{3n-2}+3y_{3n-1}+y_{3n}].$$
O erro pode ser cálculado como sendo:
$$
\varepsilon= -\frac{3n}{80} f^{(4)}(\tau)h^5,
$$
onde $\tau \in [a,b]$.
Exemplo com Geogebra
Calcular a integral abaixo com n = $2$ aplicações da Regra $3/8$ de Simpson:
$$\int_{-2}^{2} \frac{x^2}{5} +2\sin(x) dx.$$
Solução:
Algoritmo para implementação computacional
