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Sistemas de EDO

Equações diferenciais ordinárias são usadas para descrever ou simular processos e sistemas modelados por taxa de variação. Frequentemente, estes processos e sistemas estão associados a muitas variáveis dependentes que afetam umas às outras.

Nesses casos, é necessário resolver um sistema de EDOs de primeira ordem. Sendo assim, agora trabalharemos um pouco sobre essa perspectiva.

É importante entender a solução de sistemas de EDOs antes de trabalharmos com EDOs de ordens superiores a 1.

Exemplo

Resolva o Problema de Valor Inicial abaixo usando o método de Euler com passo $h=0.5$:
$$ \begin{cases} \frac{dy}{dx} = -0.5y &= g_{y}(x,y,z) \\ \frac{dz}{dx} = 4 -0.3z -0.1y &= g_{z}(x,y,z) \\ y(0) = 4 \;\;\;\;\; z(0) = 6. \end{cases} $$
Solução:

Os primeiros pontos da solução em $x = 0$ é $(0;4)$ para $y$ e $(0;6)$ para $z$, que correspondem as condições iniciais. Ou seja, na iteração ${i = 0}$ temos ${x_0 = 0}$, ${y_0 = 4}$ e ${z_0 = 6}$. Para obter o valor de $y_1$ e $z_1$ em $x_1 = 0.5$, calculamos primeiramente as inclinações:

$$ \begin{aligned} k_y &= g_y(x_0,y_0,z_0) = -0.5{y_0}\\ &= -2 \\ k_z &= g_z(x_0,y_0,z_0) = 4 - 0.3{z_0} - 0.1{y_0}\\ &= 1.8 \end{aligned} $$
Logo,
$$ \begin{aligned} y_1 &= y_0 + k_{y}h = 4 - 2*(0.5)\\ & = 3 \\ z_1 &= z_0 + k_{z}h = 6 + 1.8*(0.5)\\ &= 6.9 \end{aligned} $$
Para $x_2 = 1.0$, temos que:
$$ \begin{aligned} k_y &= g_y(x_1,y_1,z_1) = -0.5{y_1}\\ &= -1.5 \\ k_z &= g_z(x_1,y_1,z_1) = 4 - 0.3{z_1} - 0.1y_1 \\ &= 1.63 \end{aligned} $$
Logo,
$$ \begin{aligned} y_2 &= y_1 + k_{y}h = 3 + (-1.5)*(0.5)\\ & = 2.25\\ z_2 &= z_1 + k_{z}h =6.9 + 1.63*(0.5)\\ &= 7.715 \end{aligned} $$
O restante da solução podemos ver na tabela a seguir:
${i}$ ${x_i}$ ${y_i}$ ${z_i}$ $k_{y_i}$ $k_{z_i}$
${0}$ ${0.000}$ ${4.000}$ ${6.000}$ ${}$ ${}$
${1}$ ${0.500}$ ${3.000}$ ${6.900}$ ${-2}$ ${1.8}$
${2}$ ${1.000}$ ${2.250}$ ${7.715}$ ${-1.5}$ ${1.63}$
${3}$ ${1.500}$ ${1.688}$ ${8.445}$ ${-1.125}$ ${1.4605}$
${4}$ ${2.000}$ ${1.266}$ ${9.094}$ ${-0.84375}$ ${1.297675}$

Exercícios - Sistema EDO

Enunciado