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Regra 1/3 de Simpson
A regra $1/3$ de Simpson utiliza uma parábola para aproximar a função no intervalo de integração e assim tem como vantagem um erro menor do que a integral calculada pela regra do trapézio.
Para calcular o polinômio de segundo grau é necessário ter $3$ pontos que interpolem a função. Dois pontos são obtidos nas extremidades, sendo $x_{0}= a$ e $x_{2}=b$.
O ponto $x_{1}$ pode ser obtido de qualquer valor $x$ no intervalo $[a,b]$. Por convenção, faz-se $x_{1}$ o ponto médio do intervalo.
Assim, $x_{1}= x_{0}+h$, de forma a ter dois subintervalos de mesmo tamanho, $h = \frac{b-a}{2}$.
De posse de $3$ pontos, pode-se encontrar a o polinômio de segundo grau que passa por todos os pontos utilizando a técnica de Lagrange:
de forma que a integral pode ser aproximada pela seguinte fórmula:
$$ \int_{a}^{b} P_{2}dx = \frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2}). $$
Para polinômios de até terceiro grau, a Regra apresenta erro zero. Para funções de ordem maior o erro é calculado através da expressão:
$$ \varepsilon= -\frac{1}{90} f^{(4)}(\tau)h^5,$$
onde $\tau \in [a,b]$.
Para calcular o polinômio de segundo grau é necessário ter $3$ pontos que interpolem a função. Dois pontos são obtidos nas extremidades, sendo $x_{0}= a$ e $x_{2}=b$.
O ponto $x_{1}$ pode ser obtido de qualquer valor $x$ no intervalo $[a,b]$. Por convenção, faz-se $x_{1}$ o ponto médio do intervalo.
Assim, $x_{1}= x_{0}+h$, de forma a ter dois subintervalos de mesmo tamanho, $h = \frac{b-a}{2}$.
De posse de $3$ pontos, pode-se encontrar a o polinômio de segundo grau que passa por todos os pontos utilizando a técnica de Lagrange:
$$
\begin{aligned}
P_{2} = &\; y_{0}\frac{(x - x_{1})(x - x_{2})}{(x_{0} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} \\
&+y_{1}\frac{(x - x_{0})(x - x_{2})}{(x_{1} - x_{0})(x_{1} - x_{2})}\\
&+y_{2}\frac{(x - x_{0})(x - x_{1})}{(x_{2} - x_{0})(x_{2} - x_{1})},
\end{aligned}
$$
de forma que a integral pode ser aproximada pela seguinte fórmula:
$$ \int_{a}^{b} P_{2}dx = \frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2}). $$
Para polinômios de até terceiro grau, a Regra apresenta erro zero. Para funções de ordem maior o erro é calculado através da expressão:
$$ \varepsilon= -\frac{1}{90} f^{(4)}(\tau)h^5,$$
onde $\tau \in [a,b]$.
Regra 1/3 de Simpson Composta
De forma a melhorar a acurácia da Regra de Simpson $1/3$, pode-se dividir o intervalo $[a,b]$ em $2n$ subintervalos e aplicar a regra $n$ vezes.
Para $2n$ subintervalos de mesmo tamanho $h$, então
$$h = \frac{b-a}{2n}.$$
A cada $2$ subintervalos calcula-se a Regra $1/3$ de Simpson, de forma a obter:
Se somar cada área calculada, obtêm-se a integral para a Regra $1/3$ Composta:
O erro pode ser calculado como:
$$ \varepsilon = -\frac{n}{90} f^{(4)}(\tau)h^5,$$
onde novamente $\tau \in [a,b]$.
Para $2n$ subintervalos de mesmo tamanho $h$, então
$$h = \frac{b-a}{2n}.$$
A cada $2$ subintervalos calcula-se a Regra $1/3$ de Simpson, de forma a obter:
$$
\begin{aligned}
A_{1} &=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2}),\\
A_{2} &= \frac{h}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4}),\\
&...\\
A_{n} &= \frac{h}{3}(y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n}).
\end{aligned}
$$
Se somar cada área calculada, obtêm-se a integral para a Regra $1/3$ Composta:
$$I_{\frac{1}{3}}= \frac {h}{3}[y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3} \;\;... \;+ 2y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n}].$$
O erro pode ser calculado como:
$$ \varepsilon = -\frac{n}{90} f^{(4)}(\tau)h^5,$$
onde novamente $\tau \in [a,b]$.
Exemplo com Geogebra
Calcular a integral abaixo com n = $3$ aplicações da Regra $1/3$ de Simpson:
$$\int_{-2}^{2} \frac{x^2}{5} +2\sin(x) dx.$$
Solução:
Algoritmo para implementação computacional
