O método do ponto médio é semelhante ao método desenvolvido por Heun no sentido de que é realizado o cálculo de duas inclinações. Podemos analisar isto observando o desevolvimento a seguir:

Dado um problema de valor inicial $$ \begin{cases} \frac{\text{d}y}{\text{d}x}= g(x,y), \\ y(x_0) = y_0, \end{cases} $$
a primeira inclinação é calculada de maneira similar ao Método de Heun, ou seja, no início do intervalo: $$ {k_1 = g(x_i,y_i)}. $$ A segunda inclinação é calculada no ponto médio do intervalo $[x_i;x_{i+1}]$, ou seja, em $x = x_i+h/2$:

Observe que no cálculo de $k_2$ foi usado o método de Euler para estimar o valor de $y$ no ponto médio do intervalo. A inclinação $k_2$ será usada para estimar o prómixo valor de $y$, $y_{i+1}$:

$$ y_{i+1} = y_i + k_2h. $$
Podemos entender melhor o método do Ponto Médio através das figuras a seguir:

Ao resolvermos a EDO pelo método do Ponto Médio e fizermos uma comparação com a resolução pelo método Heun, veremos que a diferença é extremamente pequena, ratificando o fato de que os métodos possuem a mesma ordem de convergência.

Use o método do Ponto Médio para resolver o PVI

$$ \begin{cases} \frac{dy}{dx}= -1.2y + 7e^{-0.3x} = g(x,y)\\ y(0) = 3 \end{cases} $$
de $a = 0$ até $b = 2.5$ com um passo $h = 0.5$.

Compare o resultado com a solução analítica:
$$ y = \frac{70}{9}e^{-0.3x} - \frac{43}{9}e^{-1.2x} $$ Solução

A solução analítica está representada pela curva em verde no gráfico a seguir.

1. Partimos do ponto inicial $(0;3)$, como mostrado no gráfico acima.