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Regra do Trapézio
A ideia principal da Regra do Trapézio é aproximar a função por um polinômio de primeiro grau, ou seja uma reta. Define-se
a reta de forma que passe por $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$, onde $a$ e $b$ definem o intervalo de integração.
Desta forma, a integral é a área delimitada entre a reta e o eixo $x$ no intervalo $a,b$. O mesmo que a área de um trapézio.
A área pode ser aproximada por:
$${\int_{a}^{b}} { \;P_{1}dx } \; \; = \; \; \frac{h}{2} [f(a)+f(b)],$$
Sendo o comprimento do subintervalo, $h = b - a$.
Nessa aproximação, o erro cometido no valor da integral ao aproximar a função $f(x)$ pela reta no intervalo $[a,b]$ pode ser expresso por:
$$ \varepsilon= -\frac{1}{12} f''(\tau)h^3,$$
em que $\tau $ é um valor entre $a$ e $b$, ou seja, $a\leq \tau\leq b$.
Desta forma, a integral é a área delimitada entre a reta e o eixo $x$ no intervalo $a,b$. O mesmo que a área de um trapézio.
A área pode ser aproximada por:
$${\int_{a}^{b}} { \;P_{1}dx } \; \; = \; \; \frac{h}{2} [f(a)+f(b)],$$
Sendo o comprimento do subintervalo, $h = b - a$.
Nessa aproximação, o erro cometido no valor da integral ao aproximar a função $f(x)$ pela reta no intervalo $[a,b]$ pode ser expresso por:
$$ \varepsilon= -\frac{1}{12} f''(\tau)h^3,$$
em que $\tau $ é um valor entre $a$ e $b$, ou seja, $a\leq \tau\leq b$.
Exemplo
Suponha que desejamos calcular numericamente o valor de
$$
I = \int_a^b \frac{1}{x}dx
$$
para $a>0$ usando o método do trapézio.
Sabemos que o valor exato da integral é $I = \ln(b) - \ln(a)$ e o valor aproximado pela regra do trapézio é $$ I \approx \frac{b - a}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right). $$ Use a aplicação do GeoGebra abaixo para variar os valores de $a$ e $b$ e conferir os valores exato e aproximados da integral usando o método do trapézio, além do valor exato do erro cometido.
COLOCAR O GEOGEGRA DA INTRODUÇÃO AQUI SEM O BOTÃO DE ADICIONAR PONTOS E TROCANDO Xo por a e $x_n$ por $b$.
Sabemos que o valor exato da integral é $I = \ln(b) - \ln(a)$ e o valor aproximado pela regra do trapézio é $$ I \approx \frac{b - a}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right). $$ Use a aplicação do GeoGebra abaixo para variar os valores de $a$ e $b$ e conferir os valores exato e aproximados da integral usando o método do trapézio, além do valor exato do erro cometido.
COLOCAR O GEOGEGRA DA INTRODUÇÃO AQUI SEM O BOTÃO DE ADICIONAR PONTOS E TROCANDO Xo por a e $x_n$ por $b$.
Regra do Trapézio Composta
A Regra do Trapézio apresenta um erro bastante considerável para funções diferentes de uma reta. Uma forma de diminuir esse erro é utilizar a Regra do Trapézio Composta.
Na Regra Composta, subdivide-se o intervalo inicial $[a,b]$ em $n$ subintervalos, de forma que esses subintervalos tenham largura $h$ igual. Então em cada um deles é calculada a Regra do Trapézio:
Se somarmos cada área calculada, obtêm-se a integral para a Regra do Trapézio Composta:
O erro pode ser calculado como:
$$ \varepsilon= -\frac{n}{12}f''(\tau)h^3,$$
onde $\tau $ é um valor entre $a$ e $b$, ou seja, $a\leq \tau\leq b$.
Na Regra Composta, subdivide-se o intervalo inicial $[a,b]$ em $n$ subintervalos, de forma que esses subintervalos tenham largura $h$ igual. Então em cada um deles é calculada a Regra do Trapézio:
$$A_{1} = \frac{h}{2}[f(x_{0})+f(x_{1})], $$
$$
A_{2} = \frac{h}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})],$$
$$...$$
$$
A_{n} = \frac{h}{2}[f(x_{n-1})+f(x_{n})].
$$
Se somarmos cada área calculada, obtêm-se a integral para a Regra do Trapézio Composta:
$$I_{t}= \frac {h}{2}[f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+ \;\;... \;+ 2f(x_{n-1})+f(x_{n})].$$
O erro pode ser calculado como:
$$ \varepsilon= -\frac{n}{12}f''(\tau)h^3,$$
onde $\tau $ é um valor entre $a$ e $b$, ou seja, $a\leq \tau\leq b$.
Exemplo com Geogebra
Calcular a integral abaixo com $\;n = 6 \;$ aplicações da Regra do Trapézio:
$$\int_{-2}^{2} \frac{x^2}{5} +2\sin(x)dx.$$
Solução: