O método de interpolação descrito nessa seção foi desenvolvido por Joseph Louis de Lagrange, motivo pelo qual o método é conhecido por Interpolação de Lagrange.

Antes de apresentarmos a fórmula geral e para ilustrar bem como funciona o cálculo do Polinômio Interpolador de Lagrange vamos considerar os seguintes pontos $(x_i,y_i)$, $i = 0,\dots, 2$: $$ (-1;3), (2;6), (4;-2). $$ O único polinômio de grau 2 que passa exatamente por todos esses pontos é $-x^2+2x+6$.

A técnica de Lagrange fornece uma alternativa de como calcular esse mesmo polinômio que passa pelos três pontos utilizando três funções distintas (que também são polinômios), uma função $L_i(x)$ correspondente a cada ponto ($x_i,y_i)$, as quais possuem características bem definidas.

Essas funções são denominadas de polinômios de Lagrange $L_i(x$), e são calculadas da seguinte forma:

Observe que o termo abaixo referente ao índice $i$, $$ \frac{(x-x_i)}{(x_i - x_i)}, $$ não aparece multiplicando o lado direito de $L_i(x)$ (isso faria com que o denominador fosse igual a zero).
Calculando o $L_0(x)$ obtemos o primeiro polinômio referente ao primeiro ponto. Perceba que ao substituirmos o $x$ do polinômio $L_0(x)$ pelo $x_0$ do nosso primeiro ponto obtemos o valor 1, ou seja, $L_0(1) = 1$, e ao substiruir o $x$ pelos $x$ dos outros pontos, $x_1 = 2$ e $x_2 = 4$, obtemos o valor zero, $L_0(2) = 0$ e $L_0(4) = 0$. Com isso, concluímos que os valores $x=2$ e $x=4$ são raízes do polinômio $L_0(x)$. Essas são as características que os polinômios de Lagrange devem possuir.

Dessa forma, para $(x_i,y_i)$, o polinômio $L_i(x)$ deve obedecer:

1. $L_i(x_i) = 1 $
2. $ L_i(x) = 0 \text{ para } x \neq x_i$.

Agora, vamos continuar com os cálculos para a obtenção do polinômio interpolador de Lagrange calculando o $L_1(x)$ para o ponto $(2,6)$ e o $L_2(x)$ para o ponto $(4,2)$: Veja que os polinômios $L_1(x)$ e $L_2(x)$ também obedecem às condições 1 e 2 mostradas para o primeiro ponto.

Concluído o cálculo dos polinônios $L_0(x)$, $L_1(x)$ e $L_2(x)$, devemos por fim encontrar um novo polinônio que passará exatamente por todos os três pontos e este será o Polinômio Interpolador de Lagrange que denotaremos por $P_n(x)$, onde o $n$ representará o grau do polinônio encontrado. A fórmula geral é: $$ P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x). $$ Estendendo a fórmula para o nosso exemplo em que temos um polinômio de grau $n = 2$ e $n + 1$ pontos, ou seja, $3$ pontos. Temos:
Como solução do nosso exemplo, concluímos que o polinômio interpolador que passar exatemente pelos pontos $(-1,3) \ (2,6) \ (4,-2)$ é: ou, $$ P_2(x) = -x^2+2x+6. $$ Perceba que ao se calcular o produto $y_iL_i(x_i)$ temos como resultado o valor de $ P_n(x_i) = y_i $ no ponto $x_i$, isso nos assegura que o polinômio $P_n(x)$ passa exatamente pelo ponto $(x_i,y_i)$.

Como já foi mostrado anteriormente, uma das condições que o polinômio $L_i(x)$ deve obedecer é que $L_i(x_i) = 1$, logo, quando multiplicamos isso pelo $y_i$ temos como resultado o próprio valor de $y_i$. Quando $L_i(x_i) = 1$ for satisfeito para algum dos pontos, os outros termos de $P_n(x)$ serão iguais a zero. Isso se dá devido à segunda condição que $L_i(x_i)$ deve obedecer, essa condição trata os outros pontos analisados como raízes do polinômio.

Veja a ilustração que mostra o raciocínio por trás dos polinômios de Lagrange. A figura abaixo mostra o caso do exemplo feito anteriormente. Podemos ver cada um dos três termos da equação passando por um dos pontos dados e tendo valor zero nos outros pontos. Podemos ver também a soma dos três termos que resultou em um polinômio de segundo grau que passa exatamente por todos os três pontos.

Usando o método de Lagrange, encontre o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos da tabela abaixo:

${x}$	${y}$
${1.3}$	${3.2}$
${1.8}$	${4.3}$
${2.6}$	${0.5}$
${3.9}$	${-1.7}$

Solução:

Substituindo os valores, teremos
Uma forma de conferir se a interpolação está correta é verificar se os quatro pontos dados pertencem ao polinômio $P_3(x)$. Por exemplo, se calcularmos $P_3(1.3)$, então a resposta tem que ser $3.2$ e assim por diante. Plotando a função obtida acima, temos o seguinte:

Podemos observar que o polinômio interpolador passa por todos os pontos dados.

Considere os pontos da tabela e encontre o melhor polinômio de Lagrange de segundo grau para estimar (interpolar) $f(4.5)$:

${x}$	${y}$
${1}$	${0.000}$
${2}$	${0.6931}$
${3.5}$	${1.2528}$
${5}$	${1.6094}$
${7}$	${1.9459}$

Solução:

Como iremos fazer uma interpolação para encontrar um polinômio de grau $2$, devemos escolher $n + 1$ pontos. Sendo $n = 2$ (grau do polinômio), devemos escolher os $3$ melhores pontos para calcular $f(4.5)$.

Ao analisar a tabela, podemos ver que os 3 valores mais proximos de $x$ são: $3.5, 5$ e $7$.
Observe que poderíamos utilizar o $x=2$ também, pois ele se encontra na mesma distância $(2.5)$ de $7$, em relação a $4.5$. Então, se fizermos tanto com $x=2$ quanto com $x=7$, o resultado final será compatível.

Para calcular o polinômio, precisaremos dos valores de $x$ e $y$ de cada um dos três pontos, conforme tabela à seguir:

${x}$	${y}$
${3.5}$	${1.2528}$
${5}$	${1.6094}$
${7}$	${1.9459}$

Neste exemplo, precisamos encontrar o polinômio de segundo grau que passa por 3 pontos. Então, precisamos determinar três polinômios de Lagrange:
Ao substituir $x$ por $4.5$ em $P_2(x)$, obtemos $f(4.5) \approx P_2(4.5) = 1.5005$. Abaixo ilustra-se o resultado obtido:

Considerando a tabela onde estão representados alguns pontos da função $f(x) = \sqrt[3]{x}$, determine o valor aproximado de $0.5^{3}$.

${x}$	${f(x)}$
${0}$	${0}$
${0.008}$	${0.2}$
${0.064}$	${0.4}$
${0.216}$	${0.6}$
${0.512}$	${0.8}$

Solução:

Note inicialmente que interpolar entre pontos da tabela fornece estimativas para $\sqrt[3]{x}$. No entando, estamos interessados numa estimativa da função $x^3$ para $x = 0.5$. Perceba que $x^3$ é a função inversa de $\sqrt[3]{x}$.

Dessa forma teremos que fazer uma interpolação reversa, ou seja, em vez de utilizar os valores de $x$ para escrever o polinômio, utilizaremos os valores de $y$.

Então, vamos calcular um polinômio de grau $3$ usando os $4$ valores de $y$ mais proximos de $0.5$ e seus correspondes em $x$. Fazendo a escolha dos melhores pontos, teremos:

${y}$	${x}$
${0.2}$	${0.008}$
${0.4}$	${0.064}$
${0.6}$	${0.216}$
${0.8}$	${0.512}$

Com os melhores pontos escolhidos, já podemos fazer a interpolação:
Substituindo os valores de $x$ e $y$ ficaremos com
Fazendo $y = 0.5$, teremos que $x = 0.125$. Ilustrando o resultado obtido:

A interpolação de Lagrange tem um inconveniente: se tivermos feito essa interpolação para obter um polinômio interpolador para $n$ pontos e se quiséssemos acrescentar mais um ponto para melhorar a aproximação, por exemplo, teríamos que calcular o polinômio praticamente do zero.

Esse problema é solucionado com a interpolação de Newton, que veremos a seguir.

Considerando a tabela abaixo contendo 5 pontos, encontre um polinômio de grau 3 usando o método de Lagrange para estimar f(5)

${y}$	${x}$
${0.84}$	${0.64}$
${3.46}$	${3.2}$
${6}$	${-1}$
${9}$	${4}$
${13}$	${2.2}$

Solução: